「琐记」壹月 贰月 叁月

📅 Last Updated: 2021-01-19
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壹月 贰月 叁月 里逛 U 群/水犇犇学到的一些有趣的知识。

周贰

一个式子

g(n)=∏d∣nf(d) ⟺ f(n)=∏d∣ng(nd)μ(d) g(n) = \prod_{d|n}f(d)\ \Longleftrightarrow \ f(n)=\prod_{d|n}g(\frac{n}{d})^{\mu(d)}

取完 ln⁡\ln 就是标准的狄利克雷卷积形式，莫比乌斯反演后 exp 即可，感觉挺有意思/CY.

周叁

exCRT 优化

exCRT 的一种姿势，推了推式子，换了一种更好背的式子。 {x≡a1(modp1)x≡a2(modp2) \begin{cases} x \equiv a_1\pmod{p_1}\\\\ x \equiv a_2\pmod{p_2} \end{cases} 考虑合并以上方程：

exgcd(p1, p2, t1, t2) (a2−a1)∣(p1,p2)(a_2-a_1)|(p_1, p_2) 有解 x≡a1+t1(a2−a1)(p1,p2)×p1(mod[p1,p2]) x \equiv a_1 + \frac{t_1(a_2 - a_1)}{(p_1, p_2)}\times p_1 \pmod{[p1, p2]}

应用

快速乘法

inline ULL mul(ULL a, ULL b, ULL MOD){ // unsigned long long  
    LL R = (LL)a*b - (LL)((ULL)((long double)a * b / MOD) * MOD);
    if(R < 0) R += MOD;
    if(R > MOD) R -= MOD;
    return R;
}
// 只关心两个答案的差值，这个差值一定小于 unsigned long long 的最大值， 所以在哪个剩余系下都不重要，不管差值是什么都能还原出原始数值。

卡特兰数

单独成文

三元环与四元环计数

黄队长博客

一类维护两个有影响序列的线段树

问题形如，考虑维护两个序列 A,BA, B 支持对 AA 做某些修改（区间加、区间乘等），还要求支持将 AA 的某个区间加到 BB 的相应位置。

考虑线段树上维护一个 n,n≥2n, n\ge 2 维向量，可能需要构造一些常数加入元素矩阵来支持操作，每一次操作可以看作矩阵乘法，由于矩阵乘法具有结合律，所以这样能够保证支持标记的合并 /CY.

贰月 叁月 一些小到无法单独成文的知识。

排列三维偏序

可以考虑使用容斥原理转化为二维偏序。

先对序列两两求二维偏序，然后求和，对于任意一个数对 (i,j)(i, j) ，合法的三位偏序会被重复计算三次，不合法的三维偏序会被计算一次。最终答案减去 (n2)\dbinom{n}{2} 然后除 22 即为所求。

线性基琐记

一篇探讨线性基本质的文章 一篇阐述线性基性质的文章

由于不太了解线性基本质，只能不加证明的阐述一些事实。

线性基有两种构建方式，准确的说，是有两种存在形式。

第一种构造方式：

void add(LL t){
    for(int i = _B; i >= 0; i--){
        if(!(t & (1LL << i))) continue;
        if(v[i]) t ^= v[i];
        else{
            for(int k = 0; k < i; k++) if(t & (1LL << k)) t ^= v[k];
            for(int k = i + 1; k <= _B; k++) if(v[k] & (1LL << i)) v[k] ^= t;
            v[i] = t;
            break;
        }
    }
}

第二种构造方式：

void add(LL t){
    for(int i = _B; i >= 0; i--){
        if(!(t & (1LL << i))) continue;
        if(v[i]) t ^= v[i];
        else{
            v[i] = t;
            break;
        }
    }
}

区别在于第二种构造方式删除了两行 for 循环，本质上是在插入过程中不在维护 “线性基中存在的位对应的那一列只有一个 1” 的性质。

第一种构建方式使得每一位之间脱离联系，基本是支持了大部分线性基操作，如：

  • 最大值（从高位到低位依次贪心查询异或上这个基能否使得答案变优）
  • 最小值（就是线性基里面的最小值）
  • 第 kk 大值，将线性基中存在的位依次排开，按照 kk 的每个二进制位是否为 11 选出一些位，异或起来。
  • 查询是否能够异或出某个数字 xx，如果 xx 的某一位是 11 那么就把 xx 异或上线性基上的这一位，最后判断 xx 是否为 00 即可。

第二种构建方式：

  • 最大值的操作相同，可以发现，从查询最大值得角度，这两种线性基的存在形式是本质相同的。

  • 最小值操作相同。

  • 第 kk 大值：由于每一位之间并没有脱离联系，所以无法单独考虑每一位，需要先转化为第一种线性基，然后进行相同的操作。

    void rebuild() {
  for(int i = 63;i >= 0;i--)
      for(int j = i-1;j >= 0;j--)
          if(p[i] & (1LL << j)) 
                p[i] ^= p[j];
}

  • 但是第二种线性基支持所谓的 离线带删 。支持查询序列的某个区间的信息。详见题解

补充一些显然的小性质：

  • 线性基的结构可能与元素插入顺序有关，但是成功插入的元素数量对于相同的插入集合是唯一的。

一类满足结合律的矩阵乘法

定义矩阵上运算 ∗* ，C=A∗BC=A*B 满足： Ci,j=max⁡/min⁡（Ai,k+Bk,j） C_{i, j} = \max/\min{（A_{i, k}+B_{k,j}）} 可以证明 ∗* 满足结合律。

关于这类矩阵乘法，单位矩阵 的定义可以考虑每个运算的单位元是什么。考虑一般意义下的矩阵乘法： Ci,j=∑kAi,k×Bk,j C_{i, j} = \sum_{k} A_{i, k} \times B_{k, j} 和一般意义下的单位矩阵（一个位置为 11 当且仅当其在对角线上，其他位置为 00）

00 是加法运算单位元， 11 是乘法运算单位元。

那么显然这里定义的矩阵乘法中，单位矩阵应该类似的定义成：

  • 对角线上为加法单位元 00
  • 其他位置为 min⁡/max⁡\min / \max 单位元 ∞/−∞\infty / -\infty

一个小转化

最小权覆盖=全集−最大独立集 \text{最小权覆盖} = \text{全集} - \text{最大独立集}

显然成立。

三角矩阵的 O(n2)\mathcal{O}(n^2) 消元

每次到达一行 ii 时，有用的值只有 Mi,iM_{i, i} 和 常数项，其他值都已经成零了，只需要用这两个有用值消后面的行即可，每消一行是 O(1)O(1) 的。

一些类似三角阵的矩阵也可以完成快速消元，例如比三角阵稍微大一点点的矩阵。example

轮廓线 dp

描述状态为一个类似于轮廓线的东西，类似于状压 dp ，00 表示向上走，11 表示向右走这样的东西。 和简单博弈结合

拉格朗日插值

拉格朗日插值是真的能把多项式函数的系数插出来的。多项式多点插值能用多项式方法做到 O(nlog⁡n)\mathcal{O}(n\log n) ，这里只记录 O(n2)\mathcal{O}(n^2) 的方法。

考虑拉格朗日插值的式子： f(x)=∑i=1n∏j≠i(x−xi)(xj−xi)yj f(x) = \sum_{i=1}^{n}\prod_{j \not = i}\frac{(x-x_i)}{(x_j - x_i)}y_j 式子中每一项的分母和 yjy_j 都是常数项，可以平凡的求出。

分子上除掉 yy 的剩余部分都和 ∏i(x−xi)\prod_i(x-x_i) 差一项，可以先考虑预处理出 ∏i(x−xi)\prod_{i}(x-x_i) ，然后在每次处理点值的时候除掉某一项即可。

预处理：考虑乘上一个 (x−xi)(x - x_i) 多项式会发生 甚么事了 什么变化，相当于前移一位再加上乘 −xi​-x_i​ 后的多项式。暴力做即可，这里不会成为复杂度瓶颈。

除掉某一项：可以考虑从低到高依次还原每一项的系数。

如果 dp 为卷积，可以考虑构建一个生成函数后，求点值加速生成函数的卷积运算，最后再用 lagrange 把系数插出来。

不太好写：

struct LagrangeHelper{
    int B0[_], B1[_];
    #define X first
    #define Y second
    void operator () (pair<int, int> * pts, int n, int *ret){
        for(int i = 0; i < n; i++) ret[i] = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++) B0[i]  = 0; B0[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++){ // \prod{ (x - x_i) }
            for(int j = n; j >= 0; j--){
                B0[j] = (B0[j] *1ll* (MOD -pts[i].X) % MOD + (j == 0 ? 0 : B0[j - 1])) % MOD;
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            int d = pts[i].Y;
            for(int j = 1; j <= n; j++){ 
                if(i == j) continue;
                d = d *1ll* inv(pts[i].X - pts[j].X) % MOD;
            }
            for(int j = 0; j < n; j++) B1[j] = B0[j];
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                if(j == 0) B1[j] = B1[j] *1ll* inv(-pts[i].X) % MOD;
                else       B1[j] = (B1[j] - B1[j - 1] + MOD) *1ll* inv(-pts[i].X) % MOD;
            }
            for(int j = 0; j < n; j++) ret[j] = (ret[j] + B1[j] *1ll* d % MOD) % MOD;
        }
    }
    #undef X
    #undef Y
}d;

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STDOUT: 
STDERR: WARNING: pandoc-crossref was compiled with pandoc 3.6.2 but is being run through 3.6.4. This is not supported. Strange things may (and likely will) happen silently.

====================================================================================================
pdf log:
CMD: ['pandoc', '-s', 'cache.../dbd3207bc6.pdf.md', '-o', 'cache/dbd3207bc6.pdf', '-H', 'static/pandoc.header.tex', '--pdf-engine=xelatex', '--verbose']
STDOUT: 
STDERR: [INFO] Loaded static.../pandoc.header.tex from static.../pandoc.header.tex
[INFO] Not rendering RawBlock (Format "html") ""
[INFO] Not rendering RawBlock (Format "html") ""
[INFO] [makePDF] Temp dir:
  .../[temp]
[INFO] [makePDF] Command line:
  xelatex "-halt-on-error" "-interaction" "nonstopmode" "-output-directory" ".../[temp] ".../[temp]
[INFO] [makePDF] Relevant environment variables:
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  ("SHELL","/bin/bash")
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  ("HOME",".../[user]
  ("LANG","zh_CN.UTF-8")
  ("PATH",".../[user]/.local/bin:.../[user]/.cargo/bin:.../[user]/miniconda3/envs/myblog/bin:.../[user]/miniconda3/condabin:.../[temp]
[INFO] [makePDF] Source:
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      % soul's \st doesn't work for CJK:
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    \fi
  \fi
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  \urlstyle{same}
  \hypersetup{
    pdftitle={「琐记」壹月 贰月 叁月},
    pdfauthor={Jiayi Su (ShuYuMo)},
    hidelinks,
    pdfcreator={LaTeX via pandoc}}
  
  \title{「琐记」壹月 贰月 叁月}
  \author{Jiayi Su (ShuYuMo)}
  \date{2021-01-19 15:35:06}
  
  \begin{document}
  \maketitle
  
  \setstretch{1.3}
  壹月 贰月 叁月 里逛 \texttt{U} 群/水犇犇学到的一些有趣的知识。
  
  \subsection{周贰}\label{ux5468ux8d30}
  
  \subsubsection{一个式子}\label{ux4e00ux4e2aux5f0fux5b50}
  
  \[
  g(n) = \prod_{d|n}f(d)\ \Longleftrightarrow \ f(n)=\prod_{d|n}g(\frac{n}{d})^{\mu(d)}
  \]
  
  取完 \(\ln\) 就是标准的狄利克雷卷积形式，莫比乌斯反演后 exp
  即可，感觉挺有意思/CY.
  
  \subsection{周叁}\label{ux5468ux53c1}
  
  \subsubsection{exCRT 优化}\label{excrt-ux4f18ux5316}
  
  exCRT 的一种姿势，推了推式子，换了一种更好背的式子。 \[
  \begin{cases}
  x \equiv a_1\pmod{p_1}\\\\
  x \equiv a_2\pmod{p_2}
  \end{cases}
  \] 考虑合并以上方程：
  
  \texttt{exgcd(p1,\ p2,\ t1,\ t2)} \((a_2-a_1)|(p_1, p_2)\) 有解 \[
  x \equiv a_1 + \frac{t_1(a_2 - a_1)}{(p_1, p_2)}\times p_1 \pmod{[p1, p2]}
  \]
  
  \href{./「杂题记录」「NOI\%202018」屠龙勇士}{应用}
  
  \subsubsection{快速乘法}\label{ux5febux901fux4e58ux6cd5}
  
  \begin{Shaded}
  \begin{Highlighting}[]
  \KeywordTok{inline}\NormalTok{ ULL mul}\OperatorTok{(}\NormalTok{ULL a}\OperatorTok{,}\NormalTok{ ULL b}\OperatorTok{,}\NormalTok{ ULL MOD}\OperatorTok{)\{} \CommentTok{// unsigned long long  }
  \NormalTok{    LL R }\OperatorTok{=} \OperatorTok{(}\NormalTok{LL}\OperatorTok{)}\NormalTok{a}\OperatorTok{*}\NormalTok{b }\OperatorTok{{-}} \OperatorTok{(}\NormalTok{LL}\OperatorTok{)((}\NormalTok{ULL}\OperatorTok{)((}\DataTypeTok{long} \DataTypeTok{double}\OperatorTok{)}\NormalTok{a }\OperatorTok{*}\NormalTok{ b }\OperatorTok{/}\NormalTok{ MOD}\OperatorTok{)} \OperatorTok{*}\NormalTok{ MOD}\OperatorTok{);}
      \ControlFlowTok{if}\OperatorTok{(}\NormalTok{R }\OperatorTok{\textless{}} \DecValTok{0}\OperatorTok{)}\NormalTok{ R }\OperatorTok{+=}\NormalTok{ MOD}\OperatorTok{;}
      \ControlFlowTok{if}\OperatorTok{(}\NormalTok{R }\OperatorTok{\textgreater{}}\NormalTok{ MOD}\OperatorTok{)}\NormalTok{ R }\OperatorTok{{-}=}\NormalTok{ MOD}\OperatorTok{;}
      \ControlFlowTok{return}\NormalTok{ R}\OperatorTok{;}
  \OperatorTok{\}}
  \CommentTok{// 只关心两个答案的差值，这个差值一定小于 unsigned long long 的最大值， 所以在哪个剩余系下都不重要，不管差值是什么都能还原出原始数值。 }
  \end{Highlighting}
  \end{Shaded}
  
  \subsubsection{卡特兰数}\label{ux5361ux7279ux5170ux6570}
  
  \href{./「琐记」卡特兰数}{单独成文}
  
  \subsubsection{三元环与四元环计数}\label{ux4e09ux5143ux73afux4e0eux56dbux5143ux73afux8ba1ux6570}
  
  \href{https://notes.sshwy.name/Tri-Four-Cycle/}{黄队长博客}
  
  \subsubsection{一类维护两个有影响序列的线段树}\label{ux4e00ux7c7bux7ef4ux62a4ux4e24ux4e2aux6709ux5f71ux54cdux5e8fux5217ux7684ux7ebfux6bb5ux6811}
  
  问题形如，考虑维护两个序列 \(A, B\) 支持对 \(A\)
  做某些修改（区间加、区间乘等），还要求支持将 \(A\) 的某个区间加到 \(B\)
  的相应位置。
  
  考虑线段树上维护一个 \(n, n\ge 2\)
  维向量，可能需要构造一些常数加入元素矩阵来支持操作，每一次操作可以看作矩阵乘法，由于矩阵乘法具有结合律，所以这样能够保证支持标记的合并
  /CY.
  
  贰月 叁月 一些小到无法单独成文的知识。
  
  \subsection{排列三维偏序}\label{ux6392ux5217ux4e09ux7ef4ux504fux5e8f}
  
  可以考虑使用容斥原理转化为二维偏序。
  
  先对序列两两求二维偏序，然后求和，对于任意一个数对 \((i, j)\)
  ，合法的三位偏序会被重复计算三次，不合法的三维偏序会被计算一次。最终答案减去
  \(\dbinom{n}{2}\) 然后除 \(2\) 即为所求。
  
  \subsection{线性基琐记}\label{ux7ebfux6027ux57faux7410ux8bb0}
  
  一篇探讨线性基本质的\href{https://blog.sengxian.com/algorithms/linear-basis}{文章}
  一篇阐述线性基性质的\href{https://blog.csdn.net/a_forever_dream/article/details/83654397}{文章}
  
  由于不太了解线性基本质，只能不加证明的阐述一些事实。
  
  线性基有两种构建方式，准确的说，是有两种存在形式。
  
  第一种构造方式：
  
  \begin{Shaded}
  \begin{Highlighting}[]
  \DataTypeTok{void}\NormalTok{ add}\OperatorTok{(}\NormalTok{LL t}\OperatorTok{)\{}
      \ControlFlowTok{for}\OperatorTok{(}\DataTypeTok{int}\NormalTok{ i }\OperatorTok{=}\NormalTok{ \_B}\OperatorTok{;}\NormalTok{ i }\OperatorTok{\textgreater{}=} \DecValTok{0}\OperatorTok{;}\NormalTok{ i}\OperatorTok{{-}{-})\{}
          \ControlFlowTok{if}\OperatorTok{(!(}\NormalTok{t }\OperatorTok{\&} \OperatorTok{(}\DecValTok{1}\BuiltInTok{LL} \OperatorTok{\textless{}\textless{}}\NormalTok{ i}\OperatorTok{)))} \ControlFlowTok{continue}\OperatorTok{;}
          \ControlFlowTok{if}\OperatorTok{(}\NormalTok{v}\OperatorTok{[}\NormalTok{i}\OperatorTok{])}\NormalTok{ t }\OperatorTok{\^{}=}\NormalTok{ v}\OperatorTok{[}\NormalTok{i}\OperatorTok{];}
          \ControlFlowTok{else}\OperatorTok{\{}
              \ControlFlowTok{for}\OperatorTok{(}\DataTypeTok{int}\NormalTok{ k }\OperatorTok{=} \DecValTok{0}\OperatorTok{;}\NormalTok{ k }\OperatorTok{\textless{}}\NormalTok{ i}\OperatorTok{;}\NormalTok{ k}\OperatorTok{++)} \ControlFlowTok{if}\OperatorTok{(}\NormalTok{t }\OperatorTok{\&} \OperatorTok{(}\DecValTok{1}\BuiltInTok{LL} \OperatorTok{\textless{}\textless{}}\NormalTok{ k}\OperatorTok{))}\NormalTok{ t }\OperatorTok{\^{}=}\NormalTok{ v}\OperatorTok{[}\NormalTok{k}\OperatorTok{];}
              \ControlFlowTok{for}\OperatorTok{(}\DataTypeTok{int}\NormalTok{ k }\OperatorTok{=}\NormalTok{ i }\OperatorTok{+} \DecValTok{1}\OperatorTok{;}\NormalTok{ k }\OperatorTok{\textless{}=}\NormalTok{ \_B}\OperatorTok{;}\NormalTok{ k}\OperatorTok{++)} \ControlFlowTok{if}\OperatorTok{(}\NormalTok{v}\OperatorTok{[}\NormalTok{k}\OperatorTok{]} \OperatorTok{\&} \OperatorTok{(}\DecValTok{1}\BuiltInTok{LL} \OperatorTok{\textless{}\textless{}}\NormalTok{ i}\OperatorTok{))}\NormalTok{ v}\OperatorTok{[}\NormalTok{k}\OperatorTok{]} \OperatorTok{\^{}=}\NormalTok{ t}\OperatorTok{;}
  \NormalTok{            v}\OperatorTok{[}\NormalTok{i}\OperatorTok{]} \OperatorTok{=}\NormalTok{ t}\OperatorTok{;}
              \ControlFlowTok{break}\OperatorTok{;}
          \OperatorTok{\}}
      \OperatorTok{\}}
  \OperatorTok{\}}
  \end{Highlighting}
  \end{Shaded}
  
  第二种构造方式：
  
  \begin{Shaded}
  \begin{Highlighting}[]
  \DataTypeTok{void}\NormalTok{ add}\OperatorTok{(}\NormalTok{LL t}\OperatorTok{)\{}
      \ControlFlowTok{for}\OperatorTok{(}\DataTypeTok{int}\NormalTok{ i }\OperatorTok{=}\NormalTok{ \_B}\OperatorTok{;}\NormalTok{ i }\OperatorTok{\textgreater{}=} \DecValTok{0}\OperatorTok{;}\NormalTok{ i}\OperatorTok{{-}{-})\{}
          \ControlFlowTok{if}\OperatorTok{(!(}\NormalTok{t }\OperatorTok{\&} \OperatorTok{(}\DecValTok{1}\BuiltInTok{LL} \OperatorTok{\textless{}\textless{}}\NormalTok{ i}\OperatorTok{)))} \ControlFlowTok{continue}\OperatorTok{;}
          \ControlFlowTok{if}\OperatorTok{(}\NormalTok{v}\OperatorTok{[}\NormalTok{i}\OperatorTok{])}\NormalTok{ t }\OperatorTok{\^{}=}\NormalTok{ v}\OperatorTok{[}\NormalTok{i}\OperatorTok{];}
          \ControlFlowTok{else}\OperatorTok{\{}
  \NormalTok{            v}\OperatorTok{[}\NormalTok{i}\OperatorTok{]} \OperatorTok{=}\NormalTok{ t}\OperatorTok{;}
              \ControlFlowTok{break}\OperatorTok{;}
          \OperatorTok{\}}
      \OperatorTok{\}}
  \OperatorTok{\}}
  \end{Highlighting}
  \end{Shaded}
  
  区别在于第二种构造方式删除了两行 \texttt{for}
  循环，本质上是在插入过程中不在维护
  \textbf{“线性基中存在的位对应的那一列只有一个 1”} 的性质。
  
  第一种构建方式使得每一位之间脱离联系，基本是支持了大部分线性基操作，如：
  
  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    最大值（从高位到低位依次贪心查询异或上这个基能否使得答案变优）
  \item
    最小值（就是线性基里面的最小值）
  \item
    第 \(k\) 大值，将线性基中存在的位依次排开，按照 \(k\)
    的每个二进制位是否为 \(1\) 选出一些位，异或起来。
  \item
    查询是否能够异或出某个数字 \(x\)，如果 \(x\) 的某一位是 \(1\) 那么就把
    \(x\) 异或上线性基上的这一位，最后判断 \(x\) 是否为 \(0\) 即可。
  \end{itemize}
  
  第二种构建方式：
  
  \begin{itemize}
  \item
    最大值的操作相同，可以发现，从查询最大值得角度，这两种线性基的存在形式是本质相同的。
  \item
    最小值操作相同。
  \item
    第 \(k\)
    大值：由于每一位之间并没有脱离联系，所以无法单独考虑每一位，需要先转化为第一种线性基，然后进行相同的操作。
  
  \begin{Shaded}
  \begin{Highlighting}[]
  \DataTypeTok{void}\NormalTok{ rebuild}\OperatorTok{()} \OperatorTok{\{}
    \ControlFlowTok{for}\OperatorTok{(}\DataTypeTok{int}\NormalTok{ i }\OperatorTok{=} \DecValTok{63}\OperatorTok{;}\NormalTok{i }\OperatorTok{\textgreater{}=} \DecValTok{0}\OperatorTok{;}\NormalTok{i}\OperatorTok{{-}{-})}
        \ControlFlowTok{for}\OperatorTok{(}\DataTypeTok{int}\NormalTok{ j }\OperatorTok{=}\NormalTok{ i}\OperatorTok{{-}}\DecValTok{1}\OperatorTok{;}\NormalTok{j }\OperatorTok{\textgreater{}=} \DecValTok{0}\OperatorTok{;}\NormalTok{j}\OperatorTok{{-}{-})}
            \ControlFlowTok{if}\OperatorTok{(}\NormalTok{p}\OperatorTok{[}\NormalTok{i}\OperatorTok{]} \OperatorTok{\&} \OperatorTok{(}\DecValTok{1}\BuiltInTok{LL} \OperatorTok{\textless{}\textless{}}\NormalTok{ j}\OperatorTok{))} 
  \NormalTok{                p}\OperatorTok{[}\NormalTok{i}\OperatorTok{]} \OperatorTok{\^{}=}\NormalTok{ p}\OperatorTok{[}\NormalTok{j}\OperatorTok{];}
  \OperatorTok{\}}
  \end{Highlighting}
  \end{Shaded}
  \item
    但是第二种线性基支持所谓的 \textbf{离线带删}
    。支持查询序列的某个区间的信息。详见\href{https://www.luogu.com.cn/problem/solution/CF1100F}{题解}
  \end{itemize}
  
  补充一些显然的小性质：
  
  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    线性基的结构可能与元素插入顺序有关，但是成功插入的元素数量对于相同的插入集合是唯一的。
  \end{itemize}
  
  \subsection{一类满足结合律的矩阵乘法}\label{ux4e00ux7c7bux6ee1ux8db3ux7ed3ux5408ux5f8bux7684ux77e9ux9635ux4e58ux6cd5}
  
  定义矩阵上运算 \(*\) ，\(C=A*B\) 满足： \[
  C_{i, j} = \max/\min{（A_{i, k}+B_{k,j}）}
  \] 可以证明 \(*\) 满足结合律。
  
  关于这类矩阵乘法，\textbf{单位矩阵}
  的定义可以考虑每个运算的单位元是什么。考虑一般意义下的矩阵乘法： \[
  C_{i, j} = \sum_{k} A_{i, k} \times B_{k, j}
  \] 和一般意义下的单位矩阵（一个位置为 \(1\)
  当且仅当其在对角线上，其他位置为 \(0\)）
  
  \(0\) 是加法运算单位元， \(1\) 是乘法运算单位元。
  
  那么显然这里定义的矩阵乘法中，单位矩阵应该类似的定义成：
  
  \begin{itemize}
  \tightlist
  \item
    对角线上为加法单位元 \(0\)
  \item
    其他位置为 \(\min /  \max\) 单位元 \(\infty / -\infty\)
  \end{itemize}
  
  \subsection{一个小转化}\label{ux4e00ux4e2aux5c0fux8f6cux5316}
  
  \[
  \text{最小权覆盖} = \text{全集} - \text{最大独立集}
  \]
  
  显然成立。
  
  \subsection{\texorpdfstring{三角矩阵的 \(\mathcal{O}(n^2)\)
  消元}{三角矩阵的 \textbackslash mathcal\{O\}(n\^{}2) 消元}}\label{ux4e09ux89d2ux77e9ux9635ux7684-mathcalon2-ux6d88ux5143}
  
  每次到达一行 \(i\) 时，有用的值只有 \(M_{i, i}\) 和
  常数项，其他值都已经成零了，只需要用这两个有用值消后面的行即可，每消一行是
  \(O(1)\) 的。
  
  一些类似三角阵的矩阵也可以完成快速消元，例如比三角阵稍微大一点点的矩阵。\href{https://www.luogu.com.cn/problem/P4457}{example}
  
  \subsection{轮廓线 dp}\label{ux8f6eux5ed3ux7ebf-dp}
  
  描述状态为一个类似于轮廓线的东西，类似于状压 dp ，\(0\)
  表示向上走，\(1\) 表示向右走这样的东西。
  \href{https://www.luogu.com.cn/problem/P4363}{和简单博弈结合}
  
  \subsection{拉格朗日插值}\label{ux62c9ux683cux6717ux65e5ux63d2ux503c}
  
  拉格朗日插值是真的能把多项式函数的系数插出来的。多项式多点插值能用多项式方法做到
  \(\mathcal{O}(n\log n)\) ，这里只记录 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的方法。
  
  考虑拉格朗日插值的式子： \[
  f(x) = \sum_{i=1}^{n}\prod_{j \not = i}\frac{(x-x_i)}{(x_j - x_i)}y_j
  \] 式子中每一项的分母和 \(y_j\) 都是常数项，可以平凡的求出。
  
  分子上除掉 \(y\) 的剩余部分都和 \(\prod_i(x-x_i)\)
  差一项，可以先考虑预处理出 \(\prod_{i}(x-x_i)\)
  ，然后在每次处理点值的时候除掉某一项即可。
  
  预处理：考虑乘上一个 \((x - x_i)\) 多项式会发生 \st{甚么事了}
  什么变化，相当于前移一位再加上乘 \(-x_i​\)
  后的多项式。暴力做即可，这里不会成为复杂度瓶颈。
  
  除掉某一项：可以考虑从低到高依次还原每一项的系数。
  
  如果 dp
  为卷积，可以考虑构建一个生成函数后，求点值加速生成函数的卷积运算，最后再用
  lagrange 把系数插出来。
  
  不太好写：
  
  \begin{Shaded}
  \begin{Highlighting}[]
  \KeywordTok{struct}\NormalTok{ LagrangeHelper}\OperatorTok{\{}
      \DataTypeTok{int}\NormalTok{ B0}\OperatorTok{[}\NormalTok{\_}\OperatorTok{],}\NormalTok{ B1}\OperatorTok{[}\NormalTok{\_}\OperatorTok{];}
      \PreprocessorTok{\#define X }\NormalTok{first}
      \PreprocessorTok{\#define Y }\NormalTok{second}
      \DataTypeTok{void} \KeywordTok{operator} \OperatorTok{()} \OperatorTok{(}\NormalTok{pair}\OperatorTok{\textless{}}\DataTypeTok{int}\OperatorTok{,} \DataTypeTok{int}\OperatorTok{\textgreater{}} \OperatorTok{*}\NormalTok{ pts}\OperatorTok{,} \DataTypeTok{int}\NormalTok{ n}\OperatorTok{,} \DataTypeTok{int} \OperatorTok{*}\NormalTok{ret}\OperatorTok{)\{}
          \ControlFlowTok{for}\OperatorTok{(}\DataTypeTok{int}\NormalTok{ i }\OperatorTok{=} \DecValTok{0}\OperatorTok{;}\NormalTok{ i }\OperatorTok{\textless{}}\NormalTok{ n}\OperatorTok{;}\NormalTok{ i}\OperatorTok{++)}\NormalTok{ ret}\OperatorTok{[}\NormalTok{i}\OperatorTok{]} \OperatorTok{=} \DecValTok{0}\OperatorTok{;}
          \ControlFlowTok{for}\OperatorTok{(}\DataTypeTok{int}\NormalTok{ i }\OperatorTok{=} \DecValTok{0}\OperatorTok{;}\NormalTok{ i }\OperatorTok{\textless{}}\NormalTok{ n}\OperatorTok{;}\NormalTok{ i}\OperatorTok{++)}\NormalTok{ B0}\OperatorTok{[}\NormalTok{i}\OperatorTok{]}  \OperatorTok{=} \DecValTok{0}\OperatorTok{;}\NormalTok{ B0}\OperatorTok{[}\DecValTok{0}\OperatorTok{]} \OperatorTok{=} \DecValTok{1}\OperatorTok{;}
          \ControlFlowTok{for}\OperatorTok{(}\DataTypeTok{int}\NormalTok{ i }\OperatorTok{=} \DecValTok{1}\OperatorTok{;}\NormalTok{ i }\OperatorTok{\textless{}=}\NormalTok{ n}\OperatorTok{;}\NormalTok{ i}\OperatorTok{++)\{} \CommentTok{// \textbackslash{}prod\{ (x {-} x\_i) \}}
              \ControlFlowTok{for}\OperatorTok{(}\DataTypeTok{int}\NormalTok{ j }\OperatorTok{=}\NormalTok{ n}\OperatorTok{;}\NormalTok{ j }\OperatorTok{\textgreater{}=} \DecValTok{0}\OperatorTok{;}\NormalTok{ j}\OperatorTok{{-}{-})\{}
  \NormalTok{                B0}\OperatorTok{[}\NormalTok{j}\OperatorTok{]} \OperatorTok{=} \OperatorTok{(}\NormalTok{B0}\OperatorTok{[}\NormalTok{j}\OperatorTok{]} \OperatorTok{*}\DecValTok{1}\BuiltInTok{ll}\OperatorTok{*} \OperatorTok{(}\NormalTok{MOD }\OperatorTok{{-}}\NormalTok{pts}\OperatorTok{[}\NormalTok{i}\OperatorTok{].}\NormalTok{X}\OperatorTok{)} \OperatorTok{\%}\NormalTok{ MOD }\OperatorTok{+} \OperatorTok{(}\NormalTok{j }\OperatorTok{==} \DecValTok{0} \OperatorTok{?} \DecValTok{0} \OperatorTok{:}\NormalTok{ B0}\OperatorTok{[}\NormalTok{j }\OperatorTok{{-}} \DecValTok{1}\OperatorTok{]))} \OperatorTok{\%}\NormalTok{ MOD}\OperatorTok{;}
              \OperatorTok{\}}
          \OperatorTok{\}}
          \ControlFlowTok{for}\OperatorTok{(}\DataTypeTok{int}\NormalTok{ i }\OperatorTok{=} \DecValTok{1}\OperatorTok{;}\NormalTok{ i }\OperatorTok{\textless{}=}\NormalTok{ n}\OperatorTok{;}\NormalTok{ i}\OperatorTok{++)\{}
              \DataTypeTok{int}\NormalTok{ d }\OperatorTok{=}\NormalTok{ pts}\OperatorTok{[}\NormalTok{i}\OperatorTok{].}\NormalTok{Y}\OperatorTok{;}
              \ControlFlowTok{for}\OperatorTok{(}\DataTypeTok{int}\NormalTok{ j }\OperatorTok{=} \DecValTok{1}\OperatorTok{;}\NormalTok{ j }\OperatorTok{\textless{}=}\NormalTok{ n}\OperatorTok{;}\NormalTok{ j}\OperatorTok{++)\{} 
                  \ControlFlowTok{if}\OperatorTok{(}\NormalTok{i }\OperatorTok{==}\NormalTok{ j}\OperatorTok{)} \ControlFlowTok{continue}\OperatorTok{;}
  \NormalTok{                d }\OperatorTok{=}\NormalTok{ d }\OperatorTok{*}\DecValTok{1}\BuiltInTok{ll}\OperatorTok{*}\NormalTok{ inv}\OperatorTok{(}\NormalTok{pts}\OperatorTok{[}\NormalTok{i}\OperatorTok{].}\NormalTok{X }\OperatorTok{{-}}\NormalTok{ pts}\OperatorTok{[}\NormalTok{j}\OperatorTok{].}\NormalTok{X}\OperatorTok{)} \OperatorTok{\%}\NormalTok{ MOD}\OperatorTok{;}
              \OperatorTok{\}}
              \ControlFlowTok{for}\OperatorTok{(}\DataTypeTok{int}\NormalTok{ j }\OperatorTok{=} \DecValTok{0}\OperatorTok{;}\NormalTok{ j }\OperatorTok{\textless{}}\NormalTok{ n}\OperatorTok{;}\NormalTok{ j}\OperatorTok{++)}\NormalTok{ B1}\OperatorTok{[}\NormalTok{j}\OperatorTok{]} \OperatorTok{=}\NormalTok{ B0}\OperatorTok{[}\NormalTok{j}\OperatorTok{];}
              \ControlFlowTok{for}\OperatorTok{(}\DataTypeTok{int}\NormalTok{ j }\OperatorTok{=} \DecValTok{0}\OperatorTok{;}\NormalTok{ j }\OperatorTok{\textless{}}\NormalTok{ n}\OperatorTok{;}\NormalTok{ j}\OperatorTok{++)} \OperatorTok{\{}
                  \ControlFlowTok{if}\OperatorTok{(}\NormalTok{j }\OperatorTok{==} \DecValTok{0}\OperatorTok{)}\NormalTok{ B1}\OperatorTok{[}\NormalTok{j}\OperatorTok{]} \OperatorTok{=}\NormalTok{ B1}\OperatorTok{[}\NormalTok{j}\OperatorTok{]} \OperatorTok{*}\DecValTok{1}\BuiltInTok{ll}\OperatorTok{*}\NormalTok{ inv}\OperatorTok{({-}}\NormalTok{pts}\OperatorTok{[}\NormalTok{i}\OperatorTok{].}\NormalTok{X}\OperatorTok{)} \OperatorTok{\%}\NormalTok{ MOD}\OperatorTok{;}
                  \ControlFlowTok{else}\NormalTok{       B1}\OperatorTok{[}\NormalTok{j}\OperatorTok{]} \OperatorTok{=} \OperatorTok{(}\NormalTok{B1}\OperatorTok{[}\NormalTok{j}\OperatorTok{]} \OperatorTok{{-}}\NormalTok{ B1}\OperatorTok{[}\NormalTok{j }\OperatorTok{{-}} \DecValTok{1}\OperatorTok{]} \OperatorTok{+}\NormalTok{ MOD}\OperatorTok{)} \OperatorTok{*}\DecValTok{1}\BuiltInTok{ll}\OperatorTok{*}\NormalTok{ inv}\OperatorTok{({-}}\NormalTok{pts}\OperatorTok{[}\NormalTok{i}\OperatorTok{].}\NormalTok{X}\OperatorTok{)} \OperatorTok{\%}\NormalTok{ MOD}\OperatorTok{;}
              \OperatorTok{\}}
              \ControlFlowTok{for}\OperatorTok{(}\DataTypeTok{int}\NormalTok{ j }\OperatorTok{=} \DecValTok{0}\OperatorTok{;}\NormalTok{ j }\OperatorTok{\textless{}}\NormalTok{ n}\OperatorTok{;}\NormalTok{ j}\OperatorTok{++)}\NormalTok{ ret}\OperatorTok{[}\NormalTok{j}\OperatorTok{]} \OperatorTok{=} \OperatorTok{(}\NormalTok{ret}\OperatorTok{[}\NormalTok{j}\OperatorTok{]} \OperatorTok{+}\NormalTok{ B1}\OperatorTok{[}\NormalTok{j}\OperatorTok{]} \OperatorTok{*}\DecValTok{1}\BuiltInTok{ll}\OperatorTok{*}\NormalTok{ d }\OperatorTok{\%}\NormalTok{ MOD}\OperatorTok{)} \OperatorTok{\%}\NormalTok{ MOD}\OperatorTok{;}
          \OperatorTok{\}}
      \OperatorTok{\}}
      \PreprocessorTok{\#undef X}
      \PreprocessorTok{\#undef Y}
  \OperatorTok{\}}\NormalTok{d}\OperatorTok{;}
  \end{Highlighting}
  \end{Shaded}
  
  
  \end{document}
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  This is XeTeX, Version 3.141592653-2.6-0.999995 (TeX Live 2023/Debian) (preloaded format=xelatex)
   restricted \write18 enabled.
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  LaTeX2e <2023-11-01> patch level 1
  L3 programming layer <2024-01-22>
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  Document Class: article 2023/05/17 v1.4n Standard LaTeX document class
  (.../[system]
  (.../xcolor.sty
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  (.../xetex.def)
  (.../[system]
  (.../geometry.sty
  (.../keyval.sty)
  (.../ifvtex.sty
  (.../iftex.sty)))
  (.../amsmath.sty
  For additional information on amsmath, use the `?' option.
  (.../amstext.sty
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  (.../fontspec-xetex.sty
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  (.../unicode-math-table.tex)))
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  (.../xtemplate.sty)
  (.../xeCJK.cfg))
  (.../upquote.sty
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  (.../microtype.sty
  (.../etoolbox.sty)
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  (.../microtype.cfg))
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  (.../soul-ori.sty)
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  (.../atbegshi-ltx.sty))
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  (.../stringenc.sty)
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  (.../uniquecounter.sty)))
  (.../bkm-dvipdfm.def))
  (.../xurl.sty)
  No file input.aux.
  *geometry* driver: auto-detecting
  *geometry* detected driver: xetex
  (.../mt-LatinModernRoman.cfg)
  
  Package hyperref Warning: Rerun to get /PageLabels entry.
  
  (.../omllmm.fd)
  (.../umsa.fd)
  (.../mt-msa.cfg)
  (.../umsb.fd)
  (.../mt-msb.cfg)
  
  Package xeCJK Warning: Unknown CJK family `\CJKttdefault' is being ignored.
  (xeCJK)                
  (xeCJK)                Try to use `\setCJKmonofont[<...>]{<...>}' to define
  (xeCJK)                it.
  
  
  LaTeX Font Warning: Font shape `TU/ARPLUKaiCN(0)/b/n' undefined
  (Font)              using `TU/ARPLUKaiCN(0)/m/n' instead on input line 127.
  
  
  LaTeX Font Warning: Font shape `TU/ARPLUKaiCN(0)/m/it' undefined
  (Font)              using `TU/ARPLUKaiCN(0)/m/n' instead on input line 165.
  
  [1] [2]
  Missing character: There is no （ (U+FF08) in font LatinModernMath-Regular/OT:sc
  ript=math;language=dflt;!
  Missing character: There is no ） (U+FF09) in font LatinModernMath-Regular/OT:sc
  ript=math;language=dflt;!
  [3] [4] [5] (.../input.aux)
  
  LaTeX Font Warning: Some font shapes were not available, defaults substituted.
  
  
  LaTeX Warning: Label(s) may have changed. Rerun to get cross-references right.
  
   )
  Output written on .../input.pdf (5 pages).
  Transcript written on .../input.log.
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  Package hyperref Warning: Rerun to get /PageLabels entry.
  LaTeX Warning: Label(s) may have changed. Rerun to get cross-references right.
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  *geometry* detected driver: xetex
  (.../mt-LatinModernRoman.cfg)
  (.../omllmm.fd)
  (.../umsa.fd)
  (.../mt-msa.cfg)
  (.../umsb.fd)
  (.../mt-msb.cfg)
  
  Package xeCJK Warning: Unknown CJK family `\CJKttdefault' is being ignored.
  (xeCJK)                
  (xeCJK)                Try to use `\setCJKmonofont[<...>]{<...>}' to define
  (xeCJK)                it.
  
  
  LaTeX Font Warning: Font shape `TU/ARPLUKaiCN(0)/b/n' undefined
  (Font)              using `TU/ARPLUKaiCN(0)/m/n' instead on input line 127.
  
  
  LaTeX Font Warning: Font shape `TU/ARPLUKaiCN(0)/m/it' undefined
  (Font)              using `TU/ARPLUKaiCN(0)/m/n' instead on input line 165.
  
  [1] [2]
  Missing character: There is no （ (U+FF08) in font LatinModernMath-Regular/OT:sc
  ript=math;language=dflt;!
  Missing character: There is no ） (U+FF09) in font LatinModernMath-Regular/OT:sc
  ript=math;language=dflt;!
  [3] [4] [5] (.../input.aux)
  
  LaTeX Font Warning: Some font shapes were not available, defaults substituted.
  
   )
  Output written on .../input.pdf (5 pages).
  Transcript written on .../input.log.
[WARNING] Missing character: There is no （ (U+FF08) (U+FF08) in font LatinModernMath-Regular/OT:sc
[WARNING] Missing character: There is no ） (U+FF09) (U+FF09) in font LatinModernMath-Regular/OT:sc